Persamaan Kuadrat: Pengertian, Bentuk Umum, Akar-Akar, Rumus dan Contoh Soal

Salah satu persoalan dalam mata pelajaran ilmu matematika yang para siswa minati ketika memasuki jenjang SMA sederajat adalah persamaan kuadrat. Adapun materi tersebut mempunyai sejumlah hal sangat penting yang perlu Anda pahami dengan benar.

Bentuk kuadrat keluar ketika tingkatan pembelajaran tentang perhitungan bentuk aljabar serta pemfaktoran bentuknya sudah peserta didik pahami. Agar bisa memahami model kuadrat, maka Anda akan merasa kebingungan ketika mencoba belajar bentuk kuadrat secara lengkap dan penuh.

Pengertian dari Persamaan Kuadrat

Definisi persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang memiliki pangkat tinggi yaitu maksimal dua ataupun berorde dua. Adapun contoh materi ini yang paling tidak sulit Anda temukan biasanya langsung mereka praktikkan ketika pembelajaran, misalnya 2x2 + 4x +5 = 0.

Pembelajaran tersebut tentunya berbeda dengan persamaan bentuk linear yang memiliki pangkat tertinggi yaitu satu. Dalam bentuk kuadrat, terdapat persamaan dengan pangkat paling tinggi dua. Karena hal tersebut, persamaan ini disebut sebagai persamaan bentuk kuadrat.

Arti dari kuadrat sendiri adalah bilangan yang memiliki pangkat dua. Dalam matematika, akar kuadrat dari bilangan x akan sama dengan nilai bilangan r sehingga bilangan r2 = x. Ini mengartikan bilangan 2 yang dikuadratkan adalah hasil perkalian dari angka itu sendiri dan sama dengan nilai x.

Baca juga: 1 Rim Berapa Lembar? Penjelasan dan Contoh Soal

Bentuk Umum dalam Persamaan Jenis Kuadrat

Di dalam persamaan bentuk kuadrat, salah satu hal dasar dan harus Anda ketahui sekaligus pahami yaitu bentuk umum dari persamaan tersebut. Adapun dalam hal ini, bentuk umum persamaan jenis kuadrat yaitu ax2 + bx + c = 0.

Di dalam pengertiannya, baik nilai a, b serta c adalah bilangan real. Sedangkan x adalah variabel atau sebagian dari nilai yang belum Anda ketahui serta memenuhi persamaan bentuk kuadrat.

Penerapan Persamaan Bentuk Kuadrat Dalam Kehidupan

Penerapan dalam persamaan bilangan kuadrat dalam kehidupan Anda sehari-hari bisa dengan mudah Anda temukan. Bahkan, aspek-aspek kehidupan menerapkan persamaan jenis kuadrat. Seperti bentuk parabola, kurva sampai lengkungan.

Pelangi adalah satu dari beberapa contoh wujud grafik bentuk persamaan jenis kuadrat. Ada pula panah ketika seseorang lepaskan dan masih banyak lagi seperti di bawah ini.

1. Bentuk Pelangi

Pelangi merupakan satu fenomena yang sampai saat ini membuat orang merasa takjub. Di mana pelangi muncul sebagai sebuah proses alami yang begitu mengagumkan. Pelangi sendiri muncul ketika hujan selesai turun.

Bentuk dari pelangi yang mirip parabola atau kurva memperlihatkan bahwa salah satu ciptaan dari Tuhan dapat orang terapkan dalam persamaan bilangan kuadrat.

2. Gerakan Busur Panah

Cabang olahraga memanah perlu serta membutuhkan konsentrasi tinggi saat melakukannya. Hal ini lantaran memanah tak bisa Anda lakukan dengan asal. Saat busur panah terlepas, jika Anda amati dengan baik maka terlihat sangat jelas panah membentuk suatu kurva sampai menyentuh target.

Arah busur panah yang terlepas saat memanah ini menjadi salah satu bentuk dari persamaan bilangan kuadrat.

3. Arah Tendangan Bola

Jika Anda perhatikan dengan seksama, ketika menyaksikan permainan sepak bola pastinya melihat bagaimana proses menendang bola sampai ke arah yang jauh. Bola yang meluncur cukup jauh itu juga membentuk sebuah garis kurva dan bisa Anda sebut dengan parabola.

Gerakan seperti itu merupakan penerapan dari adanya persamaan bentuk kuadrat. Adapun gaya pada tendangan bola merupakan variabel yang berpengaruh.

4. Memukul dan Lemparan Bola Baseball

Tanda dimulainya permainan baseball adalah saat pitcher melemparkan bola ke catcher dan batter. Tanpa Anda sadari, gerakan saat melempar bola tersebut jika memperhatikan dengan seksama, maka nantinya membentuk suatu pola yang berupa parabola atau kurva.

Grafik ini juga nantinya muncul saat bola dalam posisi melambung sebagai akibat dari pukulan lalu mendarat tepat di tangkapan. Hal itu terlihat pada garis polanya.

Baca juga: 1 Tahun Berapa Hari? Bulan, Minggu, Hari, Jam, Menit dan Detik

Jenis-jenis Akar Persamaan Bilangan Kuadrat

Terdapat beberapa jenis akar-akar persamaan kuadrat yang wajib peserta didik ketahui dalam pembelajaran tersebut. Adapun jenis dari akar persamaan bentuk kuadrat antara lain:

1. Akar Real

Jenis pertama ada akar real, yang mana maksudnya adalah persamaan bentuk kuadrat dengan kepunyaan nilai D > 0. Nilai tersebut ada dari sebuah persamaan bentuk kuadrat. Kendati demikian, untuk memahami salah satu jenis akar persamaan bentuk kuadrat ini perlu contoh soal.

Barulah setelah itu, Anda akan bisa mengerjakan dan mencari nilai akar persamaan dalam bilangan kuadratnya.

2. Akar Real Sama

Salah satu jenis akar persamaan bentuk kuadrat yang di dalamnya berisi nilai sama dengan. Misalnya saja seperti x1 = x2. Selain itu, nilai tersebut juga bisa Anda tunjukkan dengan D = 0. Seperti akar real biasa, agar bisa memahami contoh akar persamaan jenis kuadrat ini perlu proses pengerjaan soal.

3. Akar Tidak Real atau Imajiner

Terakhir ada jenis akar tidak real atau bernama lain akar imajiner. Ini adalah salah satu jenis akar persamaan bentuk kuadrat yang mempunyai bentuk berupa angka dan bersifat imajiner. Anda bisa mengetahui macam akar persamaan bentuk kuadrat seperti ini.

Caranya adalah dengan melihat bahwa akar pada persamaan dengan bentuk kuadrat dapat terjadi jika D < 0.

Cara Menyelesaikan Soal Persamaan Bentuk Kuadrat

Ada cara-cara yang kerap Anda pakai untuk menyelesaikan sebuah soal dalam materi persamaan kuadrat. Di mana soal tersebut mengharuskan Anda menemukan solusi untuk menentukan nilai dari x dengan persamaan pada bentuk kuadratnya.

Hasilnya bisa Anda dapatkan dengan substitusi sama dengan nol atau bisa juga nol. Setelah itu, mereka menyebut dengan akar dari persamaan bentuk kuadrat. Melalui akar-akar tersebut, setidaknya terdapat tiga cara menemukan akar persamaan bentuk kuadrat.

Baca juga: Berapa Hari dalam Setahun? Konversi 1 Tahun Berapa Hari, Minggu dan Bulan

Cara untuk Memfaktorkan Persamaan Bentuk Kuadrat

Pemfaktoran adalah adanya perubahan jumlah suku pada aljabar ke bentuk perkalian atau beristilah lain faktorisasi. Dengan pemakaian metode tersebut, bentuk persamaan jenis kuadrat bisa seluruhnya Anda ubah.

1. Kuadrat Sempurna

Cara untuk mengetahui beberapa akar persamaan yang sering digunakan yaitu kuadrat sempurna. Pemakaian metode satu ini bisa Anda lakukan dengan mengubah bentuk umum menjadi bentuk kuadrat yang sempurna. Begitulah kemudahan pengertian dari jenis kuadrat sempurna.

2. Rumus untuk ABC Persamaan Bentuk Kuadrat

Berikutnya ada cara menggunakan rumus persamaan kuadrat yang aman termasuk unik. Hal ini lantaran prosesnya dalam memanfaatkan nilai (a,b) dan (c) yang ada di dalam sebuah persamaan bentuk kuadrat. Ini bertujuan agar bisa mendapat akar-akar seperti (ax2 + bx + c = 0).

Agar bisa mengetahui nilai dari x1 dan x2 akar bisa Anda lakukan dengan menggunakan beberapa rumus tertentu. Misalnya dengan cara memfaktorkan akar-akar tersebut ke persamaan berikut:

(x - x1) (x-x2) = 0

3. Jumlah, Selisih serta Hasil Kali Akar

Bentuk dari persamaan jenis kuadrat yaitu ax2+ bx + c = 0. Jenis akar-akar misalnya x1 dan x2, yang mana keduanya bisa Anda ubah ke dalam penjumlahan. Bukan hanya itu, Anda juga bisa mengubahnya dalam bentuk perkalian dan pengurangan.

Kendati demikian, ada beberapa rumus untuk materi persamaan bentuk kuadrat di dalam persamaan tersebut.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat

1. Akar-akar persamaan kuadrat x^2-4x-12=0....

Pembahasan: Untuk menentukan jawaban dari soal-soal tersebut berikut langkah-langkahnya,

Memfaktorkan
Melengkapi kuadrat sempurna
Menggunakan rumus abc

Jawab:

Menentukan HP dari persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

x² - 4x - 12 = 0
a = 1, b = -4, c = -12
ac = -12 = 2 × -6
b = -4 = 2 + (-6 )

Difaktorkan

x² - 4x - 12 = 0

(x + 2) (x - 6) = 0

x + 2 = 0

x₁ = -2

atau

x - 6 = 0

x₂ = 6

Jadi HP = {-2, 6}

Bagaimana? Mudah bukan, Sobat.

2. Tentukan Himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat 4x² – 3x – 10 = 0 …

Jawab:

4x² – 3x – 10 = 0
4x² + 5x – 8x – 10 = 0
x(4x + 5) – 2(4x + 5) = 0
(4x + 5)(x – 2) = 0
(4x + 5) = 0 atau (x – 2) = 0
x = -5/4 atau x = 2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-5/4, 2}

3. Persamaan kuadrat x² + x – 2 = 0, dimana akar-akarnya x₁ dan x₂ dengan x₁ < x₂. Nilai 2x₁ + 3x₂ = …

Jawab:

x² + x – 2 = 0
(x + 2)(x – 1) = 0
(x + 2) = 0 atau (x – 1) = 0
x = –2 atau x = 1

Penyelesaian, karena x₁ < x₂ maka x₁ = –2 dan x₂ = 1

Maka nilai dari 2x₁ + 3x₂ adalah

= 2x₁ + 3x₂
= 2(–2) + 3(1)
= –4 + 3
= –1

4. Jika salah satu akar persamaan x² + (a + 1)x + (3a + 2) = 0 adalah 5, maka akar yang lain adalah …

Jawab:

x² + (a + 1)x + (3a + 2) = 0

diketahui salah satu akarnya adalah 5, maka

5² + (a + 1)5 + (3a + 2) = 0
25 + 5a + 5 + 3a + 2 = 0
8a + 32 = 0
8a = –32
a = –4

Jadi persamaan kuadrat tersebut adalah

x² + (a + 1)x + (3a + 2) = 0
x² + (–4 + 1)x + (3(–4) + 2) = 0
x² – 3x + (–12 + 2) = 0
x² – 3x – 10 = 0
(x – 5)(x + 2) = 0
(x – 5) = 0 atau (x + 2) = 0
x = 5 atau x = –2
Jadi akar lain dari persamaan kuadrat tersebut adalah –2

Itulah pengertian dari materi pembelajaran persamaan kuadrat yang wajib Anda ketahui untuk menyelesaikan soal matematika di jenjang sekolah menengah tersebut.